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体心立方格子【高校化学・化学基礎一問一答】
問1
次のように、立体の各頂点と立体の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を【１】という。
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問2
体心立方格子に含まれる原子の数は【１】個である。
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解答：【１】2
体心立方格子に含まれる原子の数を考える。
体心立方格子に含まれる原子のうち、格子の各“頂点”にあるものは原子を8分割した状態になっている。
8分割（1/8）したものが頂点の数分＝8個あるため、頂点にある原子の数は合わせて1個である。
\[
\frac{ 1 }{ 8 }×8=1
\]
次に、体心立方格子の中心に存在する原子の数を数える。
格子の中心にある原子は、球体の原子”まるまる1個”である。
以上より、体心立方格子に含まれる原子の数は2個である。
\[
\underbrace{ 1 }_{ 頂点 }+\underbrace{ 1 }_{ 面 }=2
\]
問3
体心立方格子の配位数は【１】である。
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解答：【１】8
1個の原子を取り囲む他の粒子の数を配位数という。
前述の通り、体心立方格子の中心には1個の原子が存在し、その周りを8個の原子（全部1/8だが）が取り囲んでいる。
したがって、体心立方格子の配位数は8である。
問4
体心立方格子の格子定数aと原子半径rの関係は次の通りである。
\[ \mathrm{r=\frac{ \sqrt{ 【１】 } }{ 4 }a} \]
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解答：【１】3
単位格子の1辺の長さを格子定数という。
体心立方格子を斜めに割ると次のようになる（原子半径をr、格子定数をaとする）。
辺DC（AB）の長さはa、辺AD（BC）の長さは√2aなので、三平方の定理により、rが4つ並んでいる部分（AC,DB）が√3aであることがわかる。
したがって、体心立方格子の格子定数と原子半径の関係は次のようになる。
\[
\begin{align}
&4r=\sqrt{ 3 }a\\
&\leftrightarrow r=\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 4 }a
\end{align}
\]
問5
体心立方格子の充填率は【１】％である。
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解答：【１】68
単位格子の体積に占める原子の体積の割合を充填率という。
\[
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]
「体心立方格子に含まれる原子の数」にあるように、体心立方格子は単位格子中に2個の原子を含んでいるため、次のような式をたてることができる。
\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×2 }{ a^{3} }×100
\end{align}
\]
単位格子の1辺の長さ（格子定数）はaなので、単位格子の体積は（縦×横×高さで）a3となる。
また、球の体積は4/3πr3と表すことができる（これは数学の知識）ため、体心立方格子に2個の原子が含まれることを考えると、原子の体積の合計は4/3πr3×2となる。これを解くと、充填率は約68％となる。
\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×2 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }π(\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 4 }a)^{3}×2 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \sqrt{ 3 }π }{ 8 }×100\\
&≒68(\%)
\end{align}
\]
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