【プロ講師解説】金属の単位格子は面心立方格子・体心立方格子・六方最密構造に分類することができます。このページではそのうちの１つ、六方最密構造について、単位格子に含む原子数や配位数、高さ、密度、充填率の求め方・計算方法について解説しています。解説は高校化学・化学基礎を扱うウェブメディア『化学のグルメ』を通じて6年間大学受験に携わるプロの化学講師が執筆します。
六方最密構造とは
六方最密構造とは次のような構造である。
上下の層は、１コの原子の周りを６コの原子が取り囲む形になっている。
そして真ん中の層は、上下の層の「隙間」を埋めるような形で配置されている。
六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数
もう一度、上で見た六方最密構造の図を確認しよう。
「六方最密構造」は上の構造で間違いないが、六方最密構造の「単位格子（最小単位）」はこの構造の1/3である。
したがって、六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数を答えるときは、六方最密構造中の1/3に注目して考える必要がある。
まず、六方最密構造を上から見た図を確認しよう。
六方最密構造を上から見ると「正六角形」であり、したがって、１つの角度は120°である。
先ほどから述べているように、六方最密構造の単位格子は六角柱の1/3の部分なので、上からの図で考えると…
このようになる。平行四辺形の４つの角のうち２つの角が120°を半分にした60°になっていることに注意しよう。
ここで、もう一度全体の図を見てみよう。
角度が120°の割球(1/6の割球)と60°の割球(1/12の割球)は４つずつ存在しているのがわかる。（上の面に２つずつ、下の面に２つずつ）
これらの割球と、サイドに存在している「合わせて１コ」の割球を考慮すると次のような式を立てることができる。
\frac{ 1 }{ 12 }×4+\frac{ 1 }{ 6 }×4+1=2
\]
したがって、六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数は２コとなる。
PLUS+
「六方最密構造では、真ん中の層に３つの原子を隙間を１つずつ空けて置いたはずなのに、なんで隣合ってる２つの面に原子があるの？」なんて質問はよく受ける。
ここについて少し詳しく説明しておこう。(テストでなぜ合わせて1コなのかが問われることは考えにくい。実際には覚えておけばそれでOK)
六方最密構造というのは、実は無数に繫がっている結晶の一部分に過ぎない。
上の図の”六角形の部分（色が濃い部分）”は六方最密構造の下層と中層を表しており、本来はこれに下層と同じ配置で上層が重なりあうことで六方最密構造が完成している。（上層は見やすさの関係で省いている）
ここで、六方最密構造の単位格子を図中に示すと…
このようになる。
六方最密構造の中層の原子の一部が切り取られ、そのかわり本来中層に含まれていなかった（隣の六方最密構造の）原子の一部が取り込まれていることがわかるかな。
この、切り取られる部分と取り込まれる部分が一致するため、結果的に「合わせて１コ」という表現がよくされている。
※実際に立体的な図で確認してみたいという人は以下の動画（youtube）を参照
六方最密構造の配位数
配位数とは、1コの原子を取り囲む他の粒子の数である。
六方最密構造の中には「まるごと1コ」の状態で存在する原子がないので、２つの六方最密構造を重ねあわせて考える。
２つの六方最密構造を重ねあわせると、真ん中が「まるごと1コ」の原子になる。したがって、この原子に隣接する原子の数を数えてあげれば良い。
六方最密構造の配位数は１２である。
六方最密構造の高さの求め方と原子半径
| STEP1 | 高さを測る場所を確認する |
| STEP2 | 六方最密構造から高さを求めるために必要な部分を取り出し、形を確認する |
| STEP3 | 正四面体の頂点から垂線を下ろす |
| STEP4 | DとBCの中点Mの距離を求める |
| STEP5 | DHの長さを求める |
| STEP6 | AHの長さを求める。また、それを２倍して六方最密構造全体の高さを求める |
上のSTEPに従って、六方最密構造の高さの求め方を説明していく。
STEP1
六方最密構造の高さとして、以下の赤矢印の部分を測定する。
しかし、この長さを一気に測るのではなく「半分の長さを測って二倍する」という方針でいく。
STEP2
次に、六方最密構造から高さを求めるのに必要な部分を取り出し、形を確認する。
STEP3
それぞれの原子にA〜Dの記号をふる。また、垂線を降ろした先は点Hとする。
STEP4
(2r)^{2}=(DM)^{2}+r^{2}\\
\Leftrightarrow DM=\sqrt{ 3 }r
\]
CDの長さは2r、MCの長さはr（rは原子半径）なので、三平方の定理よりDとBCの中点Mの距離は√3rとなる。
STEP5
正四面体の垂線の足であるHはこの立方体の“重心”である。
したがって、HはDMを２：１に内分する点なので（この辺は数学の知識）先ほどSTEP4で求めたDMの長さの2/3がDHの長さとなる。
DM=√3rで、HはDMを2:1に内分する点なので…
\begin{align}
DH &=\sqrt{ 3 }r×\frac{ 2 }{ 2+1 }\\
&=\frac{ 2\sqrt{ 3 }r }{ 3 }
\end{align}
\]
STEP6
STEP5で求めたDHの長さを使って、AHの長さを求める。
(2r)^{2}=(AH)^{2}+(\frac{ 2\sqrt{ 3 }r }{ 3 })^{2}\\
\Leftrightarrow AH=\frac{ 2\sqrt{ 6 }r }{ 3 }
\]
AHの長さの２倍が六方最密構造全体の高さなので、この値を２倍する。
\begin{align}
六方最密構造の高さ&=\underbrace{ \frac{ 2\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }_{ AHの長さ }×2\\
&=\frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 }
\end{align}
\]
六方最密構造の充填率
充填率とは「単位格子の体積に占める原子の体積の割合」である。
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]
六方最密構造の充填率は次の3STEPで求めていく。
| STEP1 | 六方最密構造の上層（下層）の表面積を求める |
| STEP2 | STEP1で求めた面積に六方最密構造の高さを掛けることで六方最密構造の体積を出す |
| STEP3 | 公式を使って充填率を求める |
STEP1
六方最密構造の充填率を求めるために、まずは六方最密構造の上層（下層）の表面積を求めていく。
六方最密構造の上層（下層）は正六角形であるため、以下のように６つの正三角形に分けることができる。
したがって、６つの三角形のうち１つの三角形の面積を求め、それを６倍することで上層（下層）の面積を求めることができる。
・1つの三角形の高さ
(2r)^{2}=r^{2}+(高さ)^{2}\\
\Leftrightarrow 高さ=\sqrt{ 3 }r
\]
・1つの三角形の面積
2r×\sqrt{ 3 }r×\frac{ 1 }{ 2 }=\sqrt{ 3 }r^{2}
\]
・六角形の面積
\sqrt{ 3 }r^{2}×6=6\sqrt{ 3 }r^{2}
\]
STEP2
次に、STEP1で求めた面積に六方最密構造の高さをかけることで六方最密構造の体積を出す。
6\sqrt{ 3 }r^{2}×\underbrace{ \frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }_{ 高さ }=24\sqrt{ 2 }r^{3}
\]
六方最密構造の体積は24√2r3となる。（高さの求め方については上の「六方最密構造の高さの求め方と原子半径」を参照）
STEP3
最後に、公式を使って六方最密構造の充填率を求めていく。
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 最密構造の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×6 }{ 24\sqrt{ 2 }r^{3} }×100\\
&=74(\%)
\end{align}
\]
最密構造の体積に関してはSTEP2で求めた値を使う。
また、球の体積は4/3πr3と表すことができる（これは数学の知識）ので、六方最密構造中に６コの原子が含まれる（上でやったように六方最密構造の1/3である単位格子中に含まれる原子の数が２コのため六方最密構造全体に含まれる原子の数は３倍の６コ）ことを考えると、原子の体積の合計は4/3πr3×6となる。
以上より、六方最密構造の充填率は74%である。
六方最密構造の密度
六方最密構造の密度は『g/cm3』という単位で表されることが多い。
この単位のうち、分子のgは六方最密構造に含まれる原子の重さを、分母のcm3は六方最密構造全体の体積を示している。
したがって、アボガドロ定数をN(コ/mol)、六方最密構造に含まれる原子の原子量をM(g/mol)とすると、六方最密構造の密度は次のように表すことができる。
密度(g/cm^{3})=\frac{ \frac{ M(g/mol) }{ N(コ/mol) }×原子の数(コ) }{ 24\sqrt{ 2 }r^{3}(cm^{3}) }
\]
ちなみに分子の部分は、原子量M(g/mol)をアボガドロ定数N(コ/mol)で割ることで（molとmolが約分されて）「g/コ」を出し、それに原子の数（コ）をかけることで「g」を導き出している。
あとはこの式に、アボガドロ定数である6.0×1023(コ/mol)、六方最密構造に含まれる原子の数である６(コ)、問題文で与えられている分子量(g/mol)、六方最密構造の体積（rには実際の値を入れる）を代入すれば、六方最密構造の密度を求めることができる。
まとめ
| 原子の個数 | 2コ |
| 配位数 | 12 |
| 充填率 | 74％ |
六方最密構造演習問題
問１
次の図のような金属結晶格子を【１】という。
六方最密構造とは次のような構造である。
上下の層は、１コの原子の周りを６コの原子が取り囲む形になっている。
そして真ん中の層は、上下の層の「隙間」を埋めるような形で配置されている。
問２
六方最密構造に含まれる原子は【１】コである。
「六方最密構造」は上の構造で間違いないが、六方最密構造の「単位格子（最小単位）」はこの構造の1/3である。
したがって、六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数を答えるときは、六方最密構造中の1/3に注目して考える必要がある。
まず、六方最密構造を上から見た図を確認しよう。
六方最密構造を上から見ると「正六角形」であり、したがって、１つの角度は120°である。
先ほどから述べているように、六方最密構造の単位格子は六角柱の1/3の部分なので、上からの図で考えると…
このようになる。平行四辺形の４つの格のうち２つの角が120°を半分にした60°になっていることに注意しよう。
ここで、もう一度全体の図を見てみよう。
角度が120°の割球(1/6の割球)と60°の割球(1/12の割球)は４つずつ存在しているのがわかる。（上の面に２つずつ、下の面に２つずつ）
これらの割球と、サイドに存在している「合わせて１コ」の割球を考慮すると次のような式を立てることができる。
\frac{ 1 }{ 12 }×4+\frac{ 1 }{ 6 }×4+1=2
\]
したがって、六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数は２コとなる。
問３
六方最密構造の配位数は【１】である。
配位数とは、1コの原子を取り囲む他の粒子の数である。
六方最密構造の中には「まるごと1コ」の状態で存在する原子がないので、２つの六方最密構造を重ねあわせて考える。
２つの六方最密構造を重ねあわせると、真ん中が「まるごと1コ」の原子になる。したがって、この原子に隣接する原子の数を数えてあげれば良い。
六方最密構造の配位数は１２である。
問４
六方最密構造の高さは【１】である。
\mathtt{ \frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }
\]
| STEP1 | 高さを測る場所を確認する |
| STEP2 | 六方最密構造から高さを求めるために必要な部分を取り出し、形を確認する |
| STEP3 | 正四面体の頂点から垂線を下ろす |
| STEP4 | DとBCの中点Mの距離を求める |
| STEP5 | DHの長さを求める |
| STEP6 | AHの長さを求める。また、それを２倍して六方最密構造全体の高さを求める |
上のSTEPに従って、六方最密構造の高さの求め方を説明していく。
STEP1
六方最密構造の高さとして、以下の赤矢印の部分を測定する。
しかし、この長さを一気に測るのではなく「半分の長さを測って二倍する」という方針でいく。
STEP2
次に、六方最密格子から高さを求めるのに必要な部分を取り出し、形を確認する。
STEP3
それぞれの原子にA〜Dの記号をふる。また、垂線を降ろした先は点Hとする。
STEP4
(2r)^{2}=(DM)^{2}+r^{2}\\
\Leftrightarrow DM=\sqrt{ 3 }r
\]
CDの長さは2r、MCの長さはr（rは原子半径）なので、三平方の定理よりDとBCの中点Mの距離は√3rとなる。
STEP5
正四面体の垂線の足であるHはこの立方体の“重心”である。
したがって、HはDMを２：１に内分する点なので（この辺は数学の知識）先ほどSTEP4で求めたDMの長さの2/3がDHの長さとなる。
DM=√3rで、HはDMを2:1に内分する点なので…
\begin{align}
DH &=\sqrt{ 3 }r×\frac{ 2 }{ 2+1 }\\
&=\frac{ 2\sqrt{ 3 }r }{ 3 }
\end{align}
\]
STEP6
STEP5で求めたDHの長さを使って、AHの長さを求める。
(2r)^{2}=(AH)^{2}+(\frac{ 2\sqrt{ 3 }r }{ 3 })^{2}\\
\Leftrightarrow AH=\frac{ 2\sqrt{ 6 }r }{ 3 }
\]
AHの長さの２倍が六方最密構造全体の高さなので、この値を２倍する。
\begin{align}
六方最密構造の高さ&=\underbrace{ \frac{ 2\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }_{ AHの長さ }×2\\
&=\frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 }
\end{align}
\]
問５
六方最密構造の充填率は【１】%である。
充填率とは「単位格子の体積に占める原子の体積の割合」である。
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]
六方最密構造の充填率は次の3STEPで求めていく。
| STEP1 | 六方最密構造の上層（下層）の表面積を求める |
| STEP2 | STEP1で求めた面積に六方最密構造の高さを掛けることで六方最密構造の体積を出す |
| STEP3 | 公式を使って充填率を求める |
STEP1
六方最密構造の充填率を求めるために、まずは六方最密構造の上層（下層）の表面積を求めていく。
六方最密構造の上層（下層）は正六角形であるため、以下のように６つの正三角形に分けることができる。
したがって、６つの三角形のうち１つの三角形の面積を求め、それを６倍することで上層（下層）の面積を求めることができる。
・1つの三角形の高さ
(2r)^{2}=r^{2}+(高さ)^{2}\\
\Leftrightarrow 高さ=\sqrt{ 3 }r
\]
・1つの三角形の面積
2r×\sqrt{ 3 }r×\frac{ 1 }{ 2 }=\sqrt{ 3 }r^{2}
\]
・六角形の面積
\sqrt{ 3 }r^{2}×6=6\sqrt{ 3 }r^{2}
\]
STEP2
次に、STEP1で求めた面積に六方最密構造の高さをかけることで六方最密構造の体積を出す。
6\sqrt{ 3 }r^{2}×\underbrace{ \frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }_{ 高さ }=24\sqrt{ 2 }r^{3}
\]
六方最密構造の体積は24√2r3となる。（高さの求め方については上の「六方最密構造の高さの求め方と原子半径」を参照）
STEP3
最後に、公式を使って六方最密構造の充填率を求めていく。
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 最密構造の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×6 }{ 24\sqrt{ 2 }r^{3} }×100\\
&=74(\%)
\end{align}
\]
最密構造の体積に関してはSTEP2で求めた値を使う。
また、球の体積は4/3πr3と表すことができる（これは数学の知識）ので、六方最密構造中に６コの原子が含まれる（上でやったように六方最密構造の1/3である単位格子中に含まれる原子の数が２コのため六方最密構造全体に含まれる原子の数は３倍の６コ）ことを考えると、原子の体積の合計は4/3πr3×6となる。
以上より、六方最密構造の充填率は74%である。
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・化学のグルメ運営代表
・高校化学講師
・薬剤師
・デザイナー/イラストレーター
数百名の個別指導経験あり（過去生徒合格実績：東京大・京都大・東工大・東北大・筑波大・千葉大・早稲田大・慶應義塾大・東京理科大・上智大・明治大など）
2014年よりwebメディア『化学のグルメ』を運営
公式オンラインストアで販売中の理論化学ドリルシリーズ・有機化学ドリル等を執筆
著者紹介詳細