体心立方格子【高校化学・化学基礎一問一答】

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一問一答

問１

【】に当てはまる用語を答えよ。

次の図のように、立体の各頂点と立体の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を【１】という。

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解答：【１】体心立方格子

次の図のように、立体の各頂点と立体の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を体心立方格子という。

※体心立方格子について詳しくは「体心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）」を参照

問２

【】に当てはまる用語を答えよ。

体心立方格子に含まれる原子は【１】個である。

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解答：【１】２

体心立方格子の図をもう一度確認しよう。

体心立方格子に含まれる原子のうち、格子の各“頂点”にあるものは原子を８分割した状態になっている。

したがって、８分割（1/8）したものが頂点の数分＝８コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 8 }×8=1
\]

頂点にある原子の数は合わせて1コである。

次に、体心立方格子の中心に存在する原子の数を数えていく。

格子の中心にある原子は球体の原子”まるまる１つ”である。

以上より、体心立方格子に含まれる原子数は

\[
\underbrace{ 1 }_{ 頂点 }+\underbrace{ 1 }_{ 面 }=2
\]

２コとなる。

※体心立方格子について詳しくは「体心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）」を参照

問３

【】に当てはまる用語を答えよ。

体心立方格子の配位数は【１】個である。

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解答：【１】８

配位数とは「1コの原子を取り囲む他の粒子の数」である。

先ほどから説明しているように、体心立方格子の中心には１つの原子が存在し、その周りを８つの原子（全部1/8だけど）が取り囲んでいる状態になっている。

したがって、体心立方格子の配位数は８である。

※体心立方格子について詳しくは「体心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）」を参照

問４

【】に当てはまる用語を答えよ。

体心立方格子の格子定数aと原子半径rの関係を式で表すと【１】となる。

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解答：【１】4r=√3×a

格子定数とは「単位格子の１辺の長さ」である。

体心立方格子を斜めに割ると次のようになる。（原子半径をr、格子定数をaとする）

辺DC（AB）の長さはa、辺AD（BC）の長さは√2aなので、三平方の定理によりrが４つ並んでいる部分（AC,DB）が√3aであることがわかる。
したがって、体心立方格子の格子定数と原子半径の関係は以下のようになる。

\[
4r=\sqrt{ 3 }a\\
\Leftrightarrow r=\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 4 }a
\]

※体心立方格子について詳しくは「体心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）」を参照

問５

【】に当てはまる用語を答えよ。

体心立方格子の充填率は約【１】%である。

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解答：【１】68

充填率とは、単位格子の体積に占める原子の体積の割合である。

\[
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]

上の「体心立方格子に含まれる原子の数」でやったように、体心立方格子は単位格子中に２コの原子を含んでいるので、次のような式を立てることができる。

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×2 }{ a^{3} }×100\\
\end{align}
\]

単位格子の１辺の長さ（格子定数）はaなので、単位格子の体積は（縦×横×高さで）a³となる。
また、球の体積は4/3πr³と表すことができる（これは数学の知識）ので、面心立方格子に２つの原子が含まれることを考えると、原子の体積の合計は4/3πr³×2となる。

これを解くと…

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×2 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }π(\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 4 }a)^{3}×2 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \sqrt{ 3 }π }{ 8 }×100\\
&≒68(\%)
\end{align}
\]

充填率は約68％となる。

※体心立方格子について詳しくは「体心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）」を参照

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