面心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）

【プロ講師解説】金属の単位格子は面心立方格子・体心立方格子・六方最密構造に分類することができます。このページではそのうちの１つ、面心立方格子について、配位数や充填率、密度、格子定数、半径などを解説しています。解説は高校化学・化学基礎を扱うウェブメディア『化学のグルメ』を通じて6年間大学受験に携わるプロの化学講師が執筆します。

面心立方格子とは

次の図のように、立体の各頂点と各面の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を面心立方格子という。

面心立方格子に含まれる原子

4コ

Point!

面心立方格子の図をもう一度確認しよう。

面心立方格子に含まれる原子のうち、格子の各“頂点”にあるものは原子を８分割した状態になっている。

したがって、８分割（1/8）したものが頂点の数分＝８コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 8 }×8=1
\]

頂点にある原子の数は合わせて1コである。

次に、面心立方格子の各“面”に存在する原子の数を数えていく。
格子の６面（横に４面上下に１面ずつ）にある原子は球体の原子を２分割したものになっている。

したがって、2分割（1/2）したものが、各面の数分＝６コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 2 }×6=3
\]

面にある原子の数は合わせて３コである。

以上より、面心立方格子に含まれる原子数は

\[
\underbrace{ 1 }_{ 頂点 }+\underbrace{ 3 }_{ 面 }=4
\]

４コとなる。

面心立方格子の配位数

Point!

面心立方格子を２つつなぎ合わせると次のようになる。

中心の部分で、左側の単位格子に含まれる原子（1/2のもの）と右側の単位格子に含まれる原子（1/2のもの）が合わさって、１つの球状の原子が出来上がっている。
配位数とは「1コの原子を取り囲む他の粒子の数」のことなので、図から面心立方格子の配位数は12であることがわかる。

面心立方格子の格子定数と原子半径

4r=√2a

Point!

格子定数とは「単位格子の１辺の長さ」である。

面心立方格子の側面だけを見ると次のようになっている。（原子半径をr、格子定数をaとする）

ここで、三平方の定理を用いると次のような式を立てることができる。

\[
(4r)^{2}=a^{2}+a^{2}
\]

これを整理すると…

\[
(4r)^{2}=2a^{2}\\
\Leftrightarrow 4r=\sqrt{ 2 }a\\
\Leftrightarrow r=\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 4 }a
\]

これが、面心立方格子の格子定数と原子半径の関係である。

面心立方格子の充填率

74%

Point!

充填率とは、単位格子の体積に占める原子の体積の割合である。

\[
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]

上の「面心立方格子に含まれる原子の数」でやったように、面心立方格子は単位格子中に４コの原子を含んでいるので、次のような式を立てることができる。

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
\end{align}
\]

単位格子の１辺の長さ（格子定数）はaなので、単位格子の体積は（縦×横×高さで）a³となる。
また、球の体積は4/3πr³と表すことができる（これは数学の知識）ので、面心立方格子に４つの原子が含まれることを考えると、原子の体積の合計は4/3πr³×4となる。

これを解くと…

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }π(\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 4 }a)^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \sqrt{ 2 }π }{ 6 }×100\\
&=74(\%)
\end{align}
\]

充填率は74％となる。

面心立方格子の密度

立方格子の密度は『g/cm³』という単位で表されることが多い。

この単位のうち、分子のgは立方格子に含まれる原子の重さを、分母のcm³は立方格子全体の体積を示している。

したがって、アボガドロ定数をN(コ/mol)、立方格子に含まれる原子の原子量をM(g/mol)とすると、立方格子の密度は次のように表すことができる。（この式は面心立方格子だけでなく体心立方格子でも共通）

\[
密度(g/cm^{3})=\frac{ \frac{ M(g/mol) }{ N(コ/mol) }×原子の数(コ) }{ a^{3}(cm^{3}) }
\]

ちなみに分子の部分は、原子量M(g/mol)をアボガドロ定数N(コ/mol)で割ることで（molとmolが約分されて）「g/コ」を出し、それに原子の数（コ）をかけることで「g」を導き出している。

あとはこの式に、アボガドロ定数である6.0×10²³(コ/mol)、面心立方格子に含まれる原子の数である４(コ)、問題文で与えられている分子量(g/mol)、問題文に与えられている格子の１辺の長さaを３乗して求めた立方格子の体積a³を代入すれば、面心立方格子の密度を求めることができる。

まとめ

原子の個数	４コ
配位数	１２コ
格子定数と原子半径の関係	4r=√２a
充填率	７４％

演習問題

問１

【】に当てはまる用語を答えよ。

次の図のように、立体の各頂点と各面の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を【１】という。

【問１】解答/解説：タップで表示

解答：【１】面心立方格子

次の図のように、立体の各頂点と各面の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を面心立方格子という。

問２

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子に含まれる原子は【１】コである。

【問２】解答/解説：タップで表示

解答：【１】４

面心立方格子に含まれる原子のうち、格子の各“頂点”にあるものは原子を８分割した状態になっている。

したがって、８分割（1/8）したものが頂点の数分＝８コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 8 }×8=1
\]

頂点にある原子の数は合わせて1コである。

したがって、2分割（1/2）したものが、各面の数分＝６コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 2 }×6=3
\]

面にある原子の数は合わせて３コである。

以上より、面心立方格子に含まれる原子数は

\[
\underbrace{ 1 }_{ 頂点 }+\underbrace{ 3 }_{ 面 }=4
\]

４コとなる。

問３

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子の配位数は【１】である。

【問３】解答/解説：タップで表示

解答：【１】１２

面心立方格子を２つつなぎ合わせると次のようになる。

問４

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子の格子定数と原子半径の関係を式で表すと【１】となる。

【問４】解答/解説：タップで表示

解答：【１】4r=√2×a

格子定数とは「単位格子の１辺の長さ」である。

面心立方格子の側面だけを見ると次のようになっている。（原子半径をr、格子定数をaとする）

ここで、三平方の定理を用いると次のような式を立てることができる。

\[
(4r)^{2}=a^{2}+a^{2}
\]

これを整理すると…

\[
(4r)^{2}=2a^{2}\\
\Leftrightarrow 4r=\sqrt{ 2 }a\\
\Leftrightarrow r=\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 4 }a
\]

これが、面心立方格子の格子定数と原子半径の関係である。

問５

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子の充填率は【１】%である。

【問５】解答/解説：タップで表示

解答：【１】74

充填率とは、単位格子の体積に占める原子の体積の割合である。

\[
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
\end{align}
\]

これを解くと…

充填率は74％となる。

面心立方格子（配位数・充填率・密度・格子定数・半径など）

面心立方格子とは

面心立方格子に含まれる原子

面心立方格子の配位数

面心立方格子の格子定数と原子半径

面心立方格子の充填率

面心立方格子の密度

まとめ

演習問題

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