気体の状態方程式（単位・導出・計算問題の解き方など）

解答：【１】気体の状態方程式

ボイル・シャルルの法則より、P、V、Tの値が変化しても、PV/Tは一定である。

\[ \frac{ PV }{ T }
=
\underbrace{ k }
_{ \text{ 一定 }} \]

標準状態（0℃、1.013×10⁵Pa）における気体1molあたりの体積（モル体積）V_mは22.4L/molである。

したがって、気体の物質量が1molのとき、定数kの値は次のようになる。

\[ \begin{align}&k=\frac{ PV_{m} }{ T }\\
&\mathrm{=\frac{ 1.013×10^{5}(Pa)×22.4(L/mol) }{ 273(K) }}\\
&\mathrm{≒8.31×10^{3}(\frac{ Pa・L }{ K・mol })}\end{align} \]

この値は気体の種類によらず一定であり、気体定数と呼ばれ、記号Rで表される。

気体定数Rを用いてボイル・シャルルの法則を表すと次のようになる。

\[ \frac{ PV_{m} }{ T }=R・・・① \]

物質量n(mol)の気体の体積Vは、1molあたりの体積V_mのn倍である。したがって、次の関係が成り立つ。

\[ \begin{align}&V=nV_{m}\\
&\leftrightarrow V_{m}=\frac{ V }{ n }\end{align} \]

これを①式に代入すると、次のようになる。

\[ \begin{align}&\frac{ PV }{ nT }=R\\
&\leftrightarrow PV=nRT・・・②\end{align} \]

この②式を（理想）気体の状態方程式という。

気体の状態方程式を用いれば、圧力P(Pa)、体積V(L)、絶対温度T(K)、物質量n(mol)のうち不明な値を、他の値を利用して求めることができる。

解答：0.60L

\[ \begin{align}&P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\\
&\leftrightarrow 1.0×10^{5}(\mathrm{Pa})×3.0(\mathrm{L})=5.0×10^{5}(\mathrm{Pa})×V_{2}(\mathrm{L})\\
&\leftrightarrow V_{2}=0.60(\mathrm{L})\end{align} \]

解答：3.0L

\[ \begin{align}&P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\\
&\leftrightarrow 3.0×10^{5}(\mathrm{Pa})×6.0(\mathrm{L})=6.0×10^{5}(\mathrm{Pa})×V_{2}(\mathrm{L})\\
&\leftrightarrow V_{2}=3.0(\mathrm{L})\end{align} \]

解答：10L

\[ \begin{align}&\frac{ V_{1} }{ T_{1} }=\frac{ V_{2} }{ T_{2} }\\
&\leftrightarrow \frac{ 5.0(\mathrm{L}) }{ (0+273)(\mathrm{K}) }=\frac{ V_{2}(\mathrm{L}) }{ (273+273)(\mathrm{K}) }\\
&\leftrightarrow V_{2}=10(\mathrm{L})\end{align} \]

解答：4.0L

\[ \begin{align}&\frac{ V_{1} }{ T_{1} }=\frac{ V_{2} }{ T_{2} }\\
&\leftrightarrow \frac{ 2.0(\mathrm{L}) }{ (27+273)(\mathrm{K}) }=\frac{ V_{2}(\mathrm{L}) }{ (327+273)(\mathrm{K}) }\\
&\leftrightarrow V_{2}=4.0(\mathrm{L})\end{align} \]

解答：6.0×10⁵Pa

\[ \begin{align}&P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\\
&\leftrightarrow 2.0×10^{5}(\mathrm{Pa})×3.0(\mathrm{L})=P_{2}(\mathrm{Pa})×1.0(\mathrm{L})\\
&\leftrightarrow P_{2}=6.0×10^{5}(\mathrm{Pa})\end{align} \]

解答：4.0×10⁵Pa

\[ \begin{align}&\frac{ P_{1} }{ T_{1} }=\frac{ P_{2} }{ T_{2} }\\
&\leftrightarrow \frac{ 2.0×10^{5}(\mathrm{Pa}) }{ (27+273)(\mathrm{K}) }=\frac{ P_{2}(\mathrm{Pa}) }{ (327+273)(\mathrm{K}) }\\
&\leftrightarrow P_{2}=4.0×10^{5}(\mathrm{Pa})\end{align} \]