六方最密構造【高校化学・化学基礎一問一答】

六方最密構造の充填率を求めるために、まずは六方最密構造の上層（下層）の表面積を求める。

六方最密構造の上層（下層）は正六角形であるため、次のように6個の正三角形に分けることができる。

この6個の三角形のうち1個の三角形の面積を求め、それを6倍することで上層（下層）の面積を求めることができる。

1つの三角形の高さ

\[
\begin{align}
&(2r)^{2}=r^{2}+(高さ)^{2}\\
&\leftrightarrow 高さ=\sqrt{ 3 }r
\end{align}
\]

1つの三角形の面積

\[
\begin{align}
&2r×\sqrt{ 3 }r×\frac{ 1 }{ 2 }\\
&=\sqrt{ 3 }r^{2}
\end{align}
\]

六角形の面積

\[
\begin{align}
&\sqrt{ 3 }r^{2}×6\\
&=6\sqrt{ 3 }r^{2}
\end{align}
\]

次に、STEP1で求めた面積に六方最密構造の高さをかけることで六方最密構造の体積を出す。

\[
\begin{align}
6\sqrt{ 3 }r^{2}×\underbrace{ \frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }_{ 高さ }\\
=24\sqrt{ 2 }r^{3}
\end{align}
\]

六方最密構造の体積は24√2r³となる（高さの求め方については上の「六方最密構造の高さの求め方と原子半径」を参照）。

最後に、公式を使って六方最密構造の充填率を求める。

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 最密構造の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×6 }{ 24\sqrt{ 2 }r^{3} }×100\\
&=74(\%)
\end{align}
\]

最密構造の体積に関してはSTEP2で求めた値を使う。

また、球の体積は4/3πr³と表すことができる（これは数学の知識）ため、六方最密構造中に6個の原子が含まれる（上でやったように六方最密構造の1/3である単位格子中に含まれる原子の数が2個のため六方最密構造全体に含まれる原子の数は3倍の6個）ことを考えると、原子の体積の合計は4/3πr³×6となる。

以上より、六方最密構造の充填率は74%である。

参考：六方最密構造（単位格子に含む原子数・配位数・高さ・充填率の求め方など）