【プロ講師解説】化学のグルメでは、高校化学・化学基礎の一問一答を掲載しています。解説は高校化学・化学基礎を扱うウェブメディア『化学のグルメ』を通じて6年間大学受験に携わるプロの化学講師が執筆します。一問一答コンテンツ一覧は化学のグルメ『高校化学・化学基礎一問一答コンテンツ一覧』をご覧下さい。

一問一答

問1

【】に当てはまる用語を答えよ。

次の図のように、立体の各頂点と各面の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を【1】という。

【問1】解答/解説:タップで表示
解答:【1】面心立方格子

次の図のように、立体の各頂点と各面の中心に同種の粒子が配列された結晶格子を面心立方格子という。

※面心立方格子について詳しくは面心立方格子(配位数・充填率・密度・格子定数・半径など)を参照

問2

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子に含まれる原子は【1】コである。

【問2】解答/解説:タップで表示
解答:【1】4

面心立方格子に含まれる原子のうち、格子の各“頂点”にあるものは原子を8分割した状態になっている。

したがって、8分割(1/8)したものが頂点の数分=8コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 8 }×8=1
\]

頂点にある原子の数は合わせて1コである。

次に、面心立方格子の各“面”に存在する原子の数を数えていく。
格子の6面(横に4面上下に1面ずつ)にある原子は球体の原子を2分割したものになっている。

したがって、2分割(1/2)したものが、各面の数分=6コあるので…

\[
\frac{ 1 }{ 2 }×6=3
\]

面にある原子の数は合わせて3コである。

以上より、面心立方格子に含まれる原子数は

\[
\underbrace{ 1 }_{ 頂点 }+\underbrace{ 3 }_{ 面 }=4
\]

4コとなる。

※面心立方格子について詳しくは面心立方格子(配位数・充填率・密度・格子定数・半径など)を参照

問3

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子の配位数は【1】である。

【問3】解答/解説:タップで表示
解答:【1】12

面心立方格子を2つつなぎ合わせると次のようになる。

中心の部分で、左側の単位格子に含まれる原子(1/2のもの)と右側の単位格子に含まれる原子(1/2のもの)が合わさって、1つの球状の原子が出来上がっている。
配位数とは「1コの原子を取り囲む他の粒子の数」のことなので、図から面心立方格子の配位数は12であることがわかる。

※面心立方格子について詳しくは面心立方格子(配位数・充填率・密度・格子定数・半径など)を参照

問4

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子の格子定数と原子半径の関係を式で表すと【1】となる。

【問4】解答/解説:タップで表示
解答:【1】4r=√2×a

格子定数とは「単位格子の1辺の長さ」である。

面心立方格子の側面だけを見ると次のようになっている。(原子半径をr、格子定数をaとする)

ここで、三平方の定理を用いると次のような式を立てることができる。

\[
(4r)^{2}=a^{2}+a^{2}
\]

これを整理すると…

\[
(4r)^{2}=2a^{2}\\
\Leftrightarrow 4r=\sqrt{ 2 }a\\
\Leftrightarrow r=\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 4 }a
\]

これが、面心立方格子の格子定数と原子半径の関係である。

※面心立方格子について詳しくは面心立方格子(配位数・充填率・密度・格子定数・半径など)を参照

問5

【】に当てはまる用語を答えよ。

面心立方格子の充填率は【1】%である。

【問5】解答/解説:タップで表示
解答:【1】74

充填率とは、単位格子の体積に占める原子の体積の割合である。

\[
充填率=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100
\]

上の「面心立方格子に含まれる原子の数」でやったように、面心立方格子は単位格子中に4コの原子を含んでいるので、次のような式を立てることができる。

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
\end{align}
\]

単位格子の1辺の長さ(格子定数)はaなので、単位格子の体積は(縦×横×高さで)a3となる。
また、球の体積は4/3πr3と表すことができる(これは数学の知識)ので、面心立方格子に4つの原子が含まれることを考えると、原子の体積の合計は4/3πr3×4となる。

これを解くと…

\[
\begin{align}
充填率&=\frac{ 原子の体積 }{ 単位格子の体積 }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }πr^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \frac{ 4 }{ 3 }π(\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 4 }a)^{3}×4 }{ a^{3} }×100\\
&=\frac{ \sqrt{ 2 }π }{ 6 }×100\\
&=74(\%)
\end{align}
\]

充填率は74%となる。

※面心立方格子について詳しくは面心立方格子(配位数・充填率・密度・格子定数・半径など)を参照

関連:計算ドリル、作りました。

化学のグルメオリジナル計算問題集「理論化学ドリルシリーズ」を作成しました!

モル計算や濃度計算、反応速度計算など入試頻出の計算問題を一通りマスターできるシリーズとなっています。詳細は【公式】理論化学ドリルシリーズにて!


著者プロフィール

・化学のグルメ運営代表
・高校化学講師
・薬剤師
・デザイナー/イラストレーター

数百名の個別指導経験あり(過去生徒合格実績:東京大・京都大・東工大・東北大・筑波大・千葉大・早稲田大・慶應義塾大・東京理科大・上智大・明治大など)
2014年よりwebメディア『化学のグルメ』を運営
公式オンラインストアで販売中の理論化学ドリルシリーズ・有機化学ドリル等を執筆

著者紹介詳細